1) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(2,4,1,3),(1,0,1,0),(-4,-8,-2,-6),(2,12,-1,9)}),
W :={(x,y,z,t)| x-z=-2x+y+2z+t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , V + W , V ∩ W .
b) Determinare due complementari distinti di W .
2) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V := L({(1,1,2,2),(0,3,2,1),(1,0,1,1),(2,4,5,4)}),
Wh :={(x,y,z,t)| hx+z+ht=z+ht=z=0},∀h∈R
a) Determinare una base di V.
b) Determinare una base di Wh, ∀h∈R.
c) Determinare due complementari distinti di W0.
d) Determinareperquali h∈R si ha R4 = V ⊗Wh
3) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V := L({(0,1,5,-1),(1,1,0,1),(2,1,0,0),(3,3,5,0))}),
W :={(x,y,z,t)| 2x+y+t=x+2y+2t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , W , V + W , V ∩ W .
b) Determinare due complementari distinti di W .
4) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(6,-2,-4,2),(-6,4,8,-2),(9,-3,-6,3),(3,1,2,1)}),
W :={(x,y,z,t)| x+2y-z-3t=-x+2y-z+3t=2x-4y+2z-6t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , W , V + W , V ∩ W .
b) Dire se R4 = V ⊗ W.
5) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V := L({(2,2,4,4),(0,9,6,3),(-1,0,-1,-1),(2,4,5,4)}),
Wh :={(x,y,z,t)| x+y+z=x-y+z=x+y+(h+1)z=0},∀h∈R.
a) Determinare una base di V.
b) Determinare dim(Wh), ∀h∈R.
c) Determinare una base di Wh, ∀h∈R.
d) Determinare per qualih h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh.
6) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V := L({(1,2,3,0),(0,6,3,6),(2,8,8,4),(2,0,4,-4)}),
Wh :={(x,y,z,t)| 2x-y+z=z-t=2x-y+z+ht=0}.
a) Determinare una base di V.
b) Determinare dim(Wh), ∀h∈R.
c) Determinare una base di Wh, ∀h∈R.
d) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗Wh.
7) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(1,0,-1,2),(2,1,2,0),(5,2,2,4),(-1,-1,3,2)}),
Wh :={(x,y,z,t)| x+y+z=x-y-z=2x+2y+(h-1)z=0},∀h∈R.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , Wh (∀h∈R), V ∩ W0.
b) Determinare dim(Wh), ∀h∈R.
c) Determinare due complementari distinti di V .
d) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh
8) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V := L({(1,2,3,0),(0,2,1,2),(1,1,1,1),(3,2,4,0)}),
Wh :={(x,y,z,t)| x+y-z-t=2x-y-t=x+hy-z-(2h-1)t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , Wh (∀h∈R), V +W1, V ∩ W1.
b) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh
9) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(2,1,1,1),(-1,2,2,1),(2,-1,1,-1),(-1,6,2,5)}),
Wh :={(x,y,z,t)| 2x+y-t=x+2y+t=-x+(h-2)y+(h-1)t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , Wh (∀h∈R), V +W1, V ∩ W1.
b) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh
10) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(1,2,1,-1),(1,0,-1,2),(1,6,5,-7),(-1,4,5,-8)}),
Wh :={(x,y,z,t)| x+y+t=x+2z-t=(h-3)x-3y+2hz-(h+3)t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , Wh (∀h∈R), V +W1, V ∩ W1.
b) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh
c) Determinare due complementari distinti di V .
11) Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
V :=L({(3,2,1,0),(1,2,3,1),(2,3,2,1),(2,2,10,5)}),
Wh :={(x,y,z,t)| hx-(h-1)y+(2h-5)z+ht=x-3z+t=y-5z+t=0}.
a) Si determini, se esiste, una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: V , Wh (∀h∈R), V + W3, V ∩ W3.
b) Determinare per quali h∈R si ha R4 = V ⊗ Wh
c) Determinare un complementare di W3.